Question

15．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若c（acosB-$\frac{1}{2}$b）=a²-b²．
（1）求角A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求c-b的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)余弦定理和夾角公式，以及特殊角的三角函數(shù)值即可求出；
（2）根據(jù)正弦定理和正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出．

解答 解：（1）由$c（acosB-\frac{1}{2}b）={a^2}-{b^2}$，$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}$，
得a²+c²-b²-bc=2a²-2b²，
∴a²=b²+c²-bc，
∵a²=b²+c²-2bccosA，
∴$cosA=\frac{1}{2}$，
∵角A為三角形內(nèi)角，
∴$A=\frac{π}{3}$；
（2）∵$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}=\frac{c}{sinC}=2$，
∴b=2sinB，c=2sinC，
∴$c-b=2sinc-2sinB=2sin（A+B）-2sinB=\sqrt{3}cosB-sinB=2sin（\frac{π}{3}-B）$，
∵$B∈（0，\frac{2π}{3}）$，
∴$\frac{π}{3}-B∈（-\frac{π}{3}，\frac{π}{3}）$，
∴$sin（\frac{π}{3}-B）∈（-\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，
∴c-b∈（-1，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理余弦定理，以及三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求值，解題的關(guān)鍵是公式的熟練應(yīng)用，屬于中檔題．