Question

11．已知函數(shù)f（x）=2|x-1|-|x-a|，a＞0．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求不等式f（x）≤1的解集；
（2）若不等式f（x）≤5在區(qū)間[2，+∞）上有解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）通過討論x的范圍得到不等式組，解出即可；（2）法一：求出f（x）的分段函數(shù)，通過討論a的范圍，求出f（x）的最小值，從而求出a的范圍即可；
法二：求出f（x）的分段函數(shù)，通過討論x的范圍得到關(guān)于a的不等式組，求出a的范圍即可．

解答 解：（1）a=2時(shí)，f（x）≤1可化為2|x+1|-|x-2|-1≤0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x≤-1}\\{-x-5≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{-1＜x＜2}\\{3x-1≤0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x≥2}\\{x+3≤0}\end{array}\right.$，
解得：-5≤x≤$\frac{1}{3}$，
故不等式的解集是：{x|-5≤x≤$\frac{1}{3}$}；
（2）法一：由a＞0，得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-（a+2），x≤-1}\\{3x+2-a，-1＜x＜a}\\{x+2+a，x≥a}\end{array}\right.$，
要使不等式f（x）≤5在區(qū)間[2，+∞）上有解，
則f（x）在區(qū)間[2，+∞）上的最小值f（x）_min≤5，
當(dāng)0＜a＜2時(shí)，f（x）_min=4+a≤5，解得：0＜a≤1，
a≥2時(shí)，f（x）_min=8-a≤5，解得：a≥3，
∴a的范圍是（0，1]∪[3，+∞）；
法二：由a＞0，得f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-（a+2），x≤-1}\\{3x+2-a，-1＜x＜a}\\{x+2+a，x≥a}\end{array}\right.$，
要使不等式f（x）≤5在區(qū)間[2，+∞）上有解，
只需3x+2-a≤5，-1＜x＜a①或x+2+a≤5，x≥a②在[2，+∞）有解，
由①得：x≤1+$\frac{a}{3}$，-1＜x＜a，即$\left\{\begin{array}{l}{1+\frac{a}{3}≥2}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即a≥3，
由②式得：x≤3-a，x≥a，要使②式在區(qū)間[2，+∞）有解，
則$\left\{\begin{array}{l}{3-a≥2}\\{a＞0}\end{array}\right.$，即0＜a≤1，
綜上，a的范圍是（0，1]∪[3，+∞）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式問題，考查分段函數(shù)問題，考查函數(shù)的最值以及分類討論思想，是一道中檔題．