設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求所有的無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有數(shù)學(xué)公式成立.

解:若等差數(shù)列{an}滿足
則當(dāng)k=1時(shí),有s1=s13,∴a1=0或a1=1或a1=-1
當(dāng)k=2時(shí),有s8=s2 3,即
(1)當(dāng)a1=0時(shí),代入上式得
①當(dāng)a1=0,d=0時(shí),an=0,Sn=0
滿足
此時(shí),數(shù)列{an}為:0,0,0…
②當(dāng)時(shí),,

∴不滿足題意
③當(dāng)時(shí),

∴不滿足題意
(2)當(dāng)a1=1時(shí),代入上式得d=0或d=2或d=-8
①當(dāng)a1=1,d=0時(shí),an=1,Sn=n
滿足
此時(shí),數(shù)列{an}為:1,1,1…
②當(dāng)a1=1,d=2時(shí),an=2n-1,
滿足
此時(shí),數(shù)列{an}為:1,3,5…
③當(dāng)a1=1,d=-8時(shí),an=-8n+9,Sn=n(5-4n)

∴不滿足題意
(3)當(dāng)a1=-1時(shí),代入上式得d=0或d=-2或d=8
①當(dāng)a1=-1,d=0時(shí),an=-1,Sn=-n
滿足
此時(shí),數(shù)列{an}為:-1,-1,-1…
②當(dāng)a1=-1,d=-2時(shí),an=-2n+1,
滿足
此時(shí),數(shù)列{an}為:-1,-3,-5…
③當(dāng)a1=-1,d=8時(shí),an=8n-9,Sn=n(4n-5)

∴不滿足題意
∴滿足題意的等差數(shù)列{an}有:
①0,0,0…
②1,1,1…
③1,3,5…
④-1,-1,-1…
⑤-1,-3,-5…
分析:先由k=1,k=2時(shí),確定首項(xiàng)和公差,再驗(yàn)證每一組解是否符合題意,從而可以找到符合題意的數(shù)列
點(diǎn)評:本題考查等差數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和的計(jì)算,要注意分類討論.屬中檔題
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設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn
(1)若數(shù)列首項(xiàng)為a1=
32
,公差d=1,求滿足Sk2=(Sk2的正整數(shù)k的值;
(2)若Sn=n2,求通項(xiàng)an
(3)求所有無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk2成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn
(1)若首項(xiàng)a1=
32
,公差d=1,滿足Sk2=(Sk2的正整數(shù)k=
4
4
;
(2)對于一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk2成立的所有的無窮等差數(shù)列是
an=0或an=1或an=2n-1
an=0或an=1或an=2n-1

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,求所有的無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有Sk3=(Sk)3成立.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2004•江蘇)設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn
(Ⅰ)若首項(xiàng)a1=
32
,公差d=1.求滿足Sk2=(Sk)2的正整數(shù)k;
(Ⅱ)求所有的無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有Sk2=(Sk)2成立.

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設(shè)無窮等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn
(Ⅰ)若首項(xiàng)a1=,公差d=1.求滿足的正整數(shù)k;
(Ⅱ)求所有的無窮等差數(shù)列{an},使得對于一切正整數(shù)k都有成立.

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