設(shè)橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右頂點分別為A，B，點P在橢圓上且異于A，B兩點，O為坐標原點．
（1）若直線AP與BP的斜率之積為-
1
2
，求橢圓的離心率；
（2）若|AP|=|OA|，證明直線OP的斜率k滿足|k|＞
3
．
（1）設(shè)P（x0，y0），∴
x02
a2
+
y02
b2
=1①
∵橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左右頂點分別為A，B，∴A（-a，0），B（a，0）
∴kAP=
y0
x0+a
，kBP=
y0
x0-a

∵直線AP與BP的斜率之積為-
1
2
，∴x02=a2-2y02
代入①并整理得(a2-2b2)y02=0
∵y0≠0，∴a2=2b2
∴e2=
a2-b2
a2
=
1
2

∴e=
2
2

∴橢圓的離心率為
2
2
；
（2）證明：依題意，直線OP的方程為y=kx，設(shè)P（x0，kx0），∴
x02
a2
+
k2x02
b2
=1
∵a＞b＞0，kx0≠0，∴
x02
a2
+
k2x02
a2
＜1
∴(1+k2)x02＜a2②
∵|AP|=|OA|，A（-a，0），
∴(x0+a)2+k2x02=a2
∴(1+k2)x02+2ax0=0
∴x0=
-2a
1+k2

代入②得(1+k2)(
-2a
1+k2
)2＜a2
∴k2＞3
∴直線OP的斜率k滿足|k|＞
3
．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：填空題

過點A（0，2）可以作 ______條直線與雙曲線x2-
y2
4
=1有且只有一個公共點．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

過拋物線y2=2px焦點F作直線l交拋物線于A，B兩點，O為坐標原點，則△ABO為（　　）
A．銳角三角形B．直角三角形C．不確定D．鈍角三角形

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的離心率為
3
2
，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x-y+2=0相切．
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知點P（0，1），Q（0，2）．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓C1：
x2
b2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的上下焦點，其F1是拋物線C2：x2=4y的焦點，點M是C1與C2在第二象限的交點，且|MF2|=
3
5
．
（1）試求橢圓C1的方程；
（2）與圓x2+（y+1）2=1相切的直線l：y=k（x+t）（t≠0）交橢圓于A，B兩點，若橢圓上一點P滿足
OA
+
OB
=λ
OP
，求實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

拋物線y2=2px（p＞0），其準線方程為x=-1，過準線與x軸的交點M做直線l交拋物線于A、B兩點．
（Ⅰ）若點A為MB中點，求直線l的方程；
（Ⅱ）設(shè)拋物線的焦點為F，當AF⊥BF時，求△ABF的面積．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

（200個•陜西）已知橢圓C：
x2
個2
+
y2
b2
=1（個＞b＞0）的離心率為
左
3
，短軸一個端點到右焦點的距離為
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l與橢圓C交于個、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為
3
2
，求△個OB面積的最大值．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：解答題

已知點P在橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，F(xiàn)1、F2分別為橢圓C的左、右焦點，滿足|PF1|=6-|PF2|，且橢圓C的離心率為
5
3
．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若過點Q（1，0）且不與x軸垂直的直線l與橢圓C相交于兩個不同點M、N，在x軸上是否存在定點G，使得
GM
•
GN
為定值．若存在，求出所有滿足這種條件的點G的坐標；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源：不詳 題型：單選題

如圖，是圓的內(nèi)接三角形，的平分線交圓于點，交于點，過點的圓的切線與的延長線交于點．在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：

則所有正確結(jié)論的序號是
A．①②B．③④C．①②③D．①②④

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同步練習冊答案