Question

已知函數(shù)f(x)=2asinxcosx+2bcos2x，且f(0)=8，f(

π

6

)=12．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的最小正周期及其單調(diào)增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把x=0代入函數(shù)解析式，根據(jù)f（0）=8列出關(guān)于a與b的關(guān)系式，同理根據(jù)f（

π

6

）=12列出關(guān)于a與b的另一個(gè)關(guān)系式，聯(lián)立兩關(guān)系式即可求出a與b的值；
（2）把（1）求出的a與b代入確定出函數(shù)解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，最后由特殊角的三角函數(shù)值及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式T=

2π

|ω|

即可求出函數(shù)的最小正周期，同時(shí)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：(1)由f(0)=8，f(

π

6

)=12，可得：
f(0)=2b=8，f(

π

6

)=

3

2

a+

3

2

b=12，…（4分）
∴b=4，a=4

3

；…（6分）
（2）f（x）=4

3

sin2x+4cos2x+4=8sin（2x+

π

6

）+4，…（9分）
∵ω=2，∴T=

2π

|ω|

=

2π

2

=π，即函數(shù)的最小正周期為π，…（10分）
當(dāng)2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，即kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

時(shí)，正弦函數(shù)sin（2x+

π

6

）單調(diào)遞增，
則函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈Z．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，涉及的知識(shí)有：二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，其中利用三角函數(shù)的恒等變形把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的三角函數(shù)是解此類題的關(guān)鍵．