Question

已知等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=4，S₄=30．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=a_n•2ⁿ⁺¹，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,等差數(shù)列的通項公式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（2）b_n=a_n•2ⁿ⁺¹=

7n+5

3

•2ⁿ⁺¹．利用“錯位相減法”、等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：（1）設差數(shù)列{a_n}的公差為d，∵a₁=4，S₄=30．
∴4×4+

4×3

2

d=30，
解得d=

7

3

．
∴a_n=a₁+（n-1）d=4+

7

3

(n-1)=

7n+5

3

．
∴a_n=

7n+5

3

．
（2）b_n=a_n•2ⁿ⁺¹=

7n+5

3

•2ⁿ⁺¹．
∴數(shù)列{b_n}的前n項和T_n=

2

3

[12×2+19×22+…+(7n+5)×2n]，
2Tn=

2

3

[12×22+19×23+…+（7n-2）×2ⁿ+（7n+5）×2ⁿ⁺¹]
∴-T_n=

2

3

[12×2+7×22+7×23+…+7×2ⁿ-（7n+5）×2ⁿ⁺¹]
=

2

3

[10+7×2×

2n-1

2-1

-(7n+5)×2n+1]
=

2

3

[(2-7n)×2n+1-4]，
∴T_n=

2

3

[(7n-2)×2n+1+4]．

點評：本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、“錯位相減法”，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．