Question

如圖，四棱錐S-ABCD的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都等于底面的邊長(zhǎng)．
（1）求證：AC⊥SD；
（2）E是側(cè)棱SD的中點(diǎn)，求SB與CE所成角的正弦．

Answer 1

【答案】分析：（1）AC⊥BD，AC⊥SO⇒AC⊥平面SBD⇒AC⊥SD
（2）見(jiàn)中點(diǎn)作中位線，把異面直線SB與CE所成的角，轉(zhuǎn)化為相交直線OE與CE所成的角
解答：解：（1）連BD，設(shè)AC交BD于O，
∵SA=SC，∴AC⊥SO．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，（3分）
∴AC⊥平面SBD，得AC⊥SD、（5分）
（2）∵E是AD的中點(diǎn)，O是BD的中點(diǎn)，連OE，
則OE是△DSB的中位線，
∴SB∥OE，故異面直線SB與CE所成的角為
OE與CE所成的角，即∠OEC、（8分）
設(shè)四棱維各棱長(zhǎng)為1，則OC=，CE=，
又由（Ⅰ）知AC⊥平面SBD，
OE在平面SBD內(nèi)，∴AC⊥OE．
∴sin∠OEC=．（12分）
點(diǎn)評(píng)：異面直線所成的角的求法：平移法，①選點(diǎn)，②平移，③解三角形，注意異面直線所成的角的范圍是（0，]