Question

給出下列命題：
①已知集合M滿足∅?M⊆{1，2，3}，且M中至少有一個奇數(shù)，這樣的集合M有6個；
②已知函數(shù)f（x）=

3 3x-1

ax2+ax-3

的定義域是R，則實數(shù)a的取值范圍是（-12，0）；
③函數(shù)f（x）=log_a（x-3）+1（a＞0且a≠1）圖象恒過定點（4，2）；
④已知函數(shù)f（x）=x²+bx+c對任意實數(shù)t都有f（3+t）=f（3-t），則f（1）＞f（4）＞f（3）．
其中正確的命題序號是

 

（寫出所有正確命題的序號）

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①，依題意，可例舉出樣的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6個，可判斷①；
②，通過對a=0與a≠0的討論，可求得實數(shù)a的取值范圍是（-12，0]，可判斷②；
③，利用對數(shù)型函數(shù)f（x）=log_a（x-3）+1（a＞0且a≠1）圖象恒過定點（4，1）可判斷③；
④，利用二次函數(shù)的對稱性與單調(diào)性可判斷④．

解答： 解：對于①，∵集合M滿足∅?M⊆{1，2，3}，且M中至少有一個奇數(shù)，這樣的集合M有{1}、{1，2}、{1，3}、{3}、{3，2}、{1，2，3}6個，故①正確；
對于②，∵函數(shù)f（x）=

3 3x-1

ax2+ax-3

的定義域是R，
∴當a=0時，f（x）=

3 3x-1

-3

，其定義域是R，符合題意；
當a≠0時，

a＞0 △=a2+12a＜0

或

a＜0 △=a2+12a＜0

，解得a∈（-12，0）；
綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（-12，0]，故②錯誤；
對于③，函數(shù)f（x）=log_a（x-3）+1（a＞0且a≠1）圖象恒過定點（4，1），故③錯誤；
對于④，∵函數(shù)f（x）=x²+bx+c對任意實數(shù)t都有f（3+t）=f（3-t），
∴函數(shù)f（x）=x²+bx+c的對稱軸為x=3，f（x）在[3，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（1）=f（5）＞f（4）＞f（3），故④正確．
故答案為；①④．

點評：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查對數(shù)函數(shù)與二次函數(shù)的對稱性、單調(diào)性、恒過定點等性質(zhì)，考查恒成立問題與集合間的關(guān)系，考查轉(zhuǎn)化思想．