Question

已知雙曲線C的方程為=1（a＞0，b＞0），離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為．
（I）求雙曲線C的方程；
（II）如圖，P是雙曲線C上一點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)在雙曲線C的兩條漸近線上，且分別位于第一、二象限，若，求△AOB面積的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）先由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求得頂點(diǎn)坐標(biāo)和漸進(jìn)線方程，進(jìn)而根據(jù)頂點(diǎn)到漸近線的距離求得a，b和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)離心率求得a和c的關(guān)系，最后根據(jù)c=綜合得方程組求得a，b和c，則雙曲線方程可得．
（2）由（1）可求得漸近線方程，設(shè)A（m，2m），B（-n，2n），根據(jù)得P點(diǎn)的坐標(biāo)代入雙曲線方程化簡(jiǎn)整理m，n與λ的關(guān)系式，設(shè)∠AOB=2θ，進(jìn)而根據(jù)直線的斜率求得tanθ，進(jìn)而求得sin2θ，進(jìn)而表示出|OA|，得到△AOB的面積的表達(dá)式，根據(jù)λ的范圍求得三角形面積的最大值和最小值，△AOB面積的取值范圍可得．
解答：解：（Ⅰ）由題意知，雙曲線C的頂點(diǎn)（O，a）到漸近線ax-by=0的距離為，
∴，
由，得
∴雙曲線C的方程為．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知雙曲線C的兩條漸近線方程為y=±2x．
設(shè)A（m，2m），B（-n，2n），m＞0，n＞0．
由得P點(diǎn)的坐標(biāo)為，
將P點(diǎn)坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)得．
設(shè)∠AOB=2θ，∵，∴．
又
∴．
記，
由S'（λ）=0得λ=1，又S（1）=2，，
當(dāng)λ=1時(shí)，△AOB的面積取得最小值2，當(dāng)時(shí)，
△AOB的面積取得最大值
∴△AOB面積的取值范圍是．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題的能力．