Question

已知函數(shù)f（x）=

lnx+k

ex

（其中k∈R，e=2.71828…是自然數(shù)的底數(shù)），f′（x）為f（x）的導(dǎo)函數(shù)．
（1）當(dāng)k=2時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若x∈（0，1]時(shí)，f′（x）=0都有解，求k的取值范圍；
（3）若f′（1）=0，試證明：對(duì)任意x＞0，f′（x）＜

e-2+1

x2+x

恒成立．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）求出當(dāng)k=2時(shí)，f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，由點(diǎn)斜式方程即可得到切線方程；
（2）由f′（x）=0可得k=

1-xlnx

x

，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)求得右邊函數(shù)的最大值，即可得到k的范圍；
（3）由f′（1）=0，可得k=1，對(duì)任意x＞0，g（x）＜e^-2+1等價(jià)為1-x-xlnx＜

ex

x+1

（e^-2+1），先證1-x-xlnx≤e^-2+1，可由導(dǎo)數(shù)求得，再證

ex

x+1

＞1．即可證得對(duì)任意x＞0，f′（x）＜

e-2+1

x2+x

恒成立．

解答： 解：（1）當(dāng)k=2時(shí)，f（x）=

lnx+2

ex

的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=

1-2x-xlnx

xex

（x＞0），
f′（1）=-

1

e

，f（1）=

2

e

，在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y-

2

e

=-

1

e

（x-1），
即為y=-

1

e

x+

3

e

；
（2）f′（x）=0，即

1-kx-xlnx

xex

=0，即有k=

1-xlnx

x

，
令F（x）=

1-xlnx

x

，由0＜x≤1，F(xiàn)′（x）=-

x+1

x2

＜0，
F（x）在（0，1）遞減，x→0，F(xiàn)（x）→+∞，F(xiàn)（x）≤1，
即k≤1；
（3）證明：由f′（1）=0，可得k=1，g（x）=（x²+x）f′（x），即g（x）=

x+1

ex

（1-x-xlnx），
對(duì)任意x＞0，g（x）＜e^-2+1等價(jià)為1-x-xlnx＜

ex

x+1

（e^-2+1），
由h（x）=1-x-xlnx得h′（x）=-2-lnx，
當(dāng)0＜x＜e^-2時(shí)，h′（x）＞0，h（x）遞增，當(dāng)x＞e^-2時(shí)，h′（x）＜0，h（x）遞減，
則h（x）的最大值為h（e^-2）=1+e^-2，故1-x-xlnx≤e^-2+1，
設(shè)φ（x）=e^x-（x+1），φ′（x）=e^x-1，x＞0時(shí)，φ′（x）＞0，φ（x）＞0，
φ（x）＞φ（0）=0，則x＞0時(shí)，φ（x）=e^x-（x+1）＞0即

ex

x+1

＞1．
即1-x-xlnx≤e^-2+1＜

ex

x+1

（e^-2+1），
故有對(duì)任意x＞0，f′（x）＜

e-2+1

x2+x

恒成立．

點(diǎn)評(píng)：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間及極值、最值，運(yùn)用分離參數(shù)和不等式恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式的傳遞性是解題的關(guān)鍵．