Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且不等式x²cosC+4sinC+6≥0對一切實(shí)數(shù)x恒成立．
（Ⅰ）求：角C的最大值；
（Ⅱ）若角C取得最大值，且c=2

3

，求△ABC的面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：余弦定理的應(yīng)用,三角形的面積公式

專題：解三角形

分析：（Ⅰ）由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可解得cosC≥

1

2

，即可求出角C的最大值；
（Ⅱ）先求得角C的值，再求得ab的最大值，即可求出△ABC的面積的最大值．

解答： 解：（Ⅰ）當(dāng)cosC=0即C=90°時：不等式4x+6≥0對x∈R不恒成立，不符合題意
當(dāng)cosC≠0時：要使不等式x²cosC+4xsinC+6≥0對一切實(shí)數(shù)x恒成立，須有：

cosC＞0 16sin2C-24cosC≤0

  解得cosC≥

1

2

     
又因?yàn)镃∈（0，π），所以0≤C≤

π

3

故角C的最大值為

π

3

．                                           
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：C=

π

3

，由余弦定理得：

1

2

=

a2+b2-12

2ab

，即a²+b²-12=ab
∴2ab-12≤ab
∴ab≤12
∴S_△ABC=

1

2

ab•sinC≤3

3

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2

3

時取“=”）
故△ABC的面積的最大值為3

3

．

點(diǎn)評：本題主要考察了余弦定理的應(yīng)用，三角形的面積公式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．