【題目】已知定點、，直線、相交于點，且它們的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）過點的直線與曲線交于、兩點，是否存在定點，使得直線與斜率之積為定值，若存在求出坐標；若不存在請說明理由.

【答案】(1) 曲線的方程為 ;(2)見解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)動點，利用斜率公式，由，化簡即可得到曲線的方程；

（2）由已知直線過點，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組，得，

得到的表達式，即可確定定值，得到定點的坐標．

試題解析：

（1）設(shè)動點，則， ，

， 即．

化簡得： ，

由已知，故曲線的方程為 ．

（2）由已知直線過點，

設(shè)的方程為，則聯(lián)立方程組，

消去得,

設(shè)， ，則，

直線與斜率分別為， ，

．

當時， ；當時， ．

所以存在定點，使得直線與斜率之積為定值．

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【題目】選修4-4：坐標系與參數(shù)方程

在直角坐標系中，以原點為極點， 軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為，過點的直線（為參數(shù)）與曲線相交于兩點．

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（2）求的值．

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（2）在（1）的條件下，設(shè)為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)， ，求的最小值.

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（Ⅰ）求證： ;

（Ⅱ）若,試求的值,使直線與所成角的正弦值為;

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（2）求的最小值；

（3）求的最值

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