Question

已知球O的表面積為4π，A、B、C三點都在球面上，且任意兩點間的球面距離為

π

2

，則OA與平面ABC所成角的正切值是

2

2

．

Answer 1

分析：由已知任意兩點間的球面距離為

π

2

，我們可以得到AO⊥面BOC，求出三棱錐O-ABC的體積及三角形ABC的面積，即可求出球心O到平面ABC的距離，進而可求OA與平面ABC所成角的正弦值，由此可得結(jié)論．

解答：解：由題意，∵球O的表面積為4π，
∴球的半徑為1，
∵任意兩點間的球面距離為

π

2

，
∴∠AOC=

π

2

，∠AOB=

π

2

，∠AOC=

π

2

，∴AO⊥面BOC
∵OA=OB=OC=1，∴AB=AC=BC=

2

．
∵VA-OBC=

1

3

S△OBC|AO|=

1

6

又 VA-OBC=

1

3

S△ABC•h（h為O到平面ABC的距離）
∵S△ABC=

3

2

∴h=

3

3

∴OA與平面ABC所成角的正弦值為

3

3

∴OA與平面ABC所成角的正切值為

2

2

故答案為

2

2

點評：本題以球為載體，考查球面距離，考查線面角，有一定的綜合性．