Question

13．在數(shù)列{a_n}中，a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1．
（1）求證：數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)b_n=|（3n-10）（n²-n）a_n|，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1．可得S_n+1-S_n=S_nS_n+1，即$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，即可證明．
（2）由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=-n，可得S_n=-$\frac{1}{n}$．n≥2時(shí)，a_n=S_n-1S_n=$\frac{1}{n（n-1）}$．即可的出．
（3）b_n=|（3n-10）（n²-n）a_n|，可得n=1時(shí)，b₁=0，n≥2時(shí)，b_n=|3n-10|=$\left\{\begin{array}{l}{10-3n，n=2，3}\\{3n-10，n≥4}\end{array}\right.$，對(duì)n分類討論即可得出．

解答 （1）證明：∵a₁=-1，a_n+1=S_nS_n+1．
∴S_n+1-S_n=S_nS_n+1，∴$\frac{1}{{S}_{n+1}}$-$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1，
∴數(shù)列{$\frac{1}{{S}_{n}}$}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為-1，公差為-1．
（2）解：由（1）可得：$\frac{1}{{S}_{n}}$=-1-（n-1）=-n，
∴S_n=-$\frac{1}{n}$．
∴n≥2時(shí)，a_n=S_n-1S_n=$\frac{1}{n（n-1）}$．
∴a_n=$\left\{\begin{array}{l}{-1，n=1}\\{\frac{1}{n（n-1）}，n≥2}\end{array}\right.$．
（3）解：∵b_n=|（3n-10）（n²-n）a_n|，
∴n=1時(shí)，b₁=0，
n≥2時(shí)，b_n═|（3n-10）（n²-n）$\frac{1}{n（n-1）}$|=|3n-10|=$\left\{\begin{array}{l}{10-3n，n=2，3}\\{3n-10，n≥4}\end{array}\right.$，
∴T₁=0，T₂=0+10-6=4，T₃=0+4+1=5．
n≥4時(shí)，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=5+（3×4-10）+（3×5-10）+…+（3n-10）
=5+$\frac{n（-7+3n-10）}{2}$-（-7-4-1）
=$\frac{3{n}^{2}-17n}{2}$+17．
綜上可得：T_n=$\left\{\begin{array}{l}{0，n=1}\\{4，n=2}\\{5，n=3}\\{\frac{3{n}^{2}-17n}{2}+n，n≥4}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式及其求和公式、絕對(duì)值數(shù)列求和問(wèn)題，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．