Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x﹣4．設圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=x﹣1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：聯立得： ，

解得： ，

∴圓心C（3，2）．

若k不存在，不合題意；

若k存在，設切線為：y=kx+3，可得圓心到切線的距離d=r，即 =1，

解得：k=0或k=﹣ ，

則所求切線為y=3或y=﹣ x+3

（2）解：設點M（x，y），由MA=2MO，知： =2 ，

化簡得：x2+（y+1）2=4，

∴點M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，

又∵點M在圓C上，C（a，2a﹣4），

∴圓C與圓D的關系為相交或相切，

∴1≤|CD|≤3，其中|CD|= ，

∴1≤ ≤3，

解得：0≤a≤

【解析】（1）聯立直線l與直線y=x﹣1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標，根據A坐標設出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；（2）設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，﹣1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．