Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²+bx+c（a，b，c∈R）．
（1）若函數(shù)f（x）在x=1或x=3處取得極值，試求a，b的值；
（2）在（1）的條件下，當(dāng)x∈[-2，5]時，f（x）＜c²恒成立，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的函數(shù)的解析式，對函數(shù)求導(dǎo)，使得導(dǎo)函數(shù)等于0，得到關(guān)于a，b的關(guān)系式，解方程組即可，寫出函數(shù)的解析式．
（2）要求一個恒成立問題，f（x）＜c²恒成立，即c²-c＞x³-6x²+9x，只須c²-c＞（x³-6x²+9x）_max．設(shè)g（x）=x³-6x²+9x，下面利用導(dǎo)數(shù)求其最大值即可．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）在x=1或x=3處取得極值
∴f'（1）=0，f'（3）=0…（1分）
又∵f'（x）=3x²-2ax+b
∴

f′(1)=3-2a+b=0 f′(3)=27-6a+b=0

…（2分）
∴a=6，b=9…（3分）
經(jīng)檢驗，當(dāng)a=6，b=9時，函數(shù)f（x）在x=1或x=3處取得極值    …（4分）
∴a=6，b=9…（5分）
（2）由（1）得所求的函數(shù)解析式為f（x）=x³-6x²+9x+c；
∵當(dāng)x∈[-2，5]時，f（x）＜c²恒成立，
∴x³-6x²+9x+c＜c²，對x∈[-2，5]恒成立，
∴c²-c＞x³-6x²+9x，∴c²-c＞（x³-6x²+9x）_max
設(shè)g（x）=x³-6x²+9x，
g′（x）=3x²-12x+9=3（x-3）（x-1），
列表：

x	（-2，1）	1	（1，3）	3	（3，5）
g′（x）	+	0	-	0	+
g（x）	↑	極大值4	↓	極小值0	↑

且g（-2）=-50，g（5）=20，
故函數(shù)g（x）的g（x）_最大值=f（5）=20，
∴c²-c＞20，解得c＜-4或c＞5．
故c的取值范圍是：c＜-4或c＞5．…（13分）

點(diǎn)評：考查函數(shù)的極值的應(yīng)用，考查函數(shù)的恒成立問題，本題解題的關(guān)鍵是寫出函數(shù)的最值，再利用不等式或方程思想．