Question

【題目】如圖，在四棱錐中：底面ABCD，底面ABCD為梯形，，，且，BC=1，M為棱PD上的點。

（Ⅰ）若，求證：CM∥平面PAB；

（Ⅱ）求證：平面平面PAB；

（Ⅲ）求直線BD與平面PAD所成角的大小.

Answer 1

【答案】（Ⅰ ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）30°

【解析】

（Ⅰ）過點M作MH∥AD，交PA于H，連接BH，BCMH為平行四邊形，CM∥BH,從而得證；

（Ⅱ）要證平面平面PAB，即證；

（Ⅲ）取PA的中點為N，連接BN，由（Ⅱ）可知BN⊥平面PAD，即∠BDN為直線BD與平面PAD所成角。

解：（Ⅰ）證明：過點M作MH∥AD，交PA于H，連接BH，

因為，所以．

又MH∥AD，AD∥BC，所以HM∥BC．

所以BCMH為平行四邊形，所以CM∥BH．

又BH平面PAB，CM平面PAB，

所以CM∥平面PAB．

（Ⅱ）∵底面ABCD，AD平面ABCD

∴，又，且

∴，又平面PAD

∴平面平面PAB；

（Ⅲ）取PA的中點為N，連接BN，

∵，∴BN⊥PA，連接DN

又平面平面PAB，故BN⊥平面

則∠BDN為直線BD與平面PAD所成角

此時，BN=，BD=

∴sin∠BDN=，即∠BDN=30°

∴求直線BD與平面PAD所成角的大小30°.