Question

已知函數(shù)f（x）=x++b（x≠0），其中a，b∈R．
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間；
（2）若曲線y=f（x）在點(diǎn)P（2，f（2））處的切線方程為y=3x+1，求函數(shù)f（x）的解析式；
（3）若對(duì)于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x++b（x≠0），f′（x）=1-，由此能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間．
（2）先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可知f'（2）=3，求出a的值，然后根據(jù)切點(diǎn)P（2，f（2））在直線y=3x+1上求出b，從而求出函數(shù)的解析式．
（3）由函數(shù)f（x）=x++b（x≠0），對(duì)于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，知，由a∈[，2]，x∈[，1]，知x+a＞0．當(dāng)x+b＜0時(shí)，恒成立，由此能求出b的取值范圍．
解答：解：（1）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=x++b（x≠0），
∴f′（x）=1-，
由f′（x）=1-≤0，x≠0，得-，或0＜x．
解得函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為{x|-，或0＜x}．
（2）f′（x）=1-，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得f'（2）=3，于是a=-8．
由切點(diǎn)P（2，f（2））在直線y=3x+1上可得-2+b=7，解得b=9．
所以函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=x-+9．
（3）∵函數(shù)f（x）=x++b（x≠0），對(duì)于任意的a∈[，2]，不等式f（x）≤10在[，1]上恒成立，
∴，①
因?yàn)閍∈[，2]，x∈[，1]，
所以，a＞0，x＞0，從而得到x+a＞0．
當(dāng)x+b＜0時(shí)，恒成立，
∴b＜-x∈[-1，-1/4]恒成立，∴b＜x_min=-1，即b＜-1．②
當(dāng)x+b＞0時(shí)，由①得：x+a≤10x+10b，10b≥a-9x  
∴，此時(shí)就變成了一個(gè)線性規(guī)劃問(wèn)題，把a(bǔ)當(dāng)作y，也就是a作為縱坐標(biāo)，
 目標(biāo)函數(shù)為：z=y-9x，
10b≥Z恒成立，也就是左邊的10b比右邊的最大值還要大．
可行域?yàn)榫匦�，最�?yōu)解為A（，1），C（1，），
Z_A=1-=-，
Z_C=1-=-，
∴Z_max=-，
10b≥-，
b≥-，③
又因?yàn)閎＞-x∈[-1，-]恒成立，∴b＞-，④
將③④取交集得：b＞-．
綜上所述，b∈（-∞，-1）∪（-，+∞）．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的減區(qū)間的求法，考查函數(shù)的解析式的求法，考查滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用．