Question

1．在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，點D₁為棱PD的中點，過D₁作與平面ABCD平行的平面與棱PA，PB，PC相交于A₁，B₁，C₁，∠BAD=60°．
（1）證明：B₁為PB的中點；
（2）若AB=2，且二面角A₁-AB-C的大小為60°，AC、BD的交點為O，連接B₁O．求三棱錐B₁-ABO外接球的體積．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)結(jié)合中位線的性質(zhì)即可證明：B₁為PB的中點；
（2）建立坐標系，求出平面的法向量，結(jié)合三棱錐的外接球的性質(zhì)進行求解即可．

解答 解：（1）連結(jié)B₁D₁．過D₁作與平面ABCD平行的平面與棱PA，PB，PC相交于A₁，B₁，C₁，
在平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，
∵平面PBD∩平面ABCD=BD，平面PBD∩平面A₁B₁C₁D₁=B₁D₁，
∴BD∥B₁D₁，
∵點D₁為棱PD的中點，
∴點B₁為棱PB的中點
即B₁D₁為△PBD的中位線，即B₁為PB中點．（4分）
（2）以O(shè)為原點，OA方向為x軸，OB方向為y軸，OB₁方向為z軸，建立空間直角坐標系O-xyz，
則$A（\sqrt{3}，0，0）$，B（0，1，0），B₁（0，0，t），$C（-\sqrt{3}，0，0）$
從而$\overrightarrow{AP}=（-\sqrt{3}，0，t）$，$\overrightarrow{AB}=（-\sqrt{3}，1，0）$，
則$\overrightarrow{n_1}=（\sqrt{3}，3，\frac{3}{t}）$，又$\overrightarrow{n_2}=（0，0，1）$$cos＜\overrightarrow{n_1}，\overrightarrow{n_2}＞=\frac{{|\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_2}|}}{{|\overrightarrow{n_1}|•|\overrightarrow{n_2}|}}=\frac{{\frac{3}{t}}}{{\sqrt{3+9+\frac{9}{t^2}}}}=\frac{1}{2}$，則$t=\frac{3}{2}$．
由題可知，OA⊥OB，OA⊥OB₁，OB⊥OB₁，
即三棱錐B₁-ABO外接球為以O(shè)A、OB、OB₁為長、寬、高的長方體外接球，
則該長方體的體對角線長為$d=\sqrt{{1^2}+{{\sqrt{3}}^2}+{{（\frac{3}{2}）}^2}}=\frac{5}{2}$，即外接球半徑為$\frac{5}{4}$．
則三棱錐B₁-ABO外接球的體積為$V=\frac{4}{3}π{R^3}=\frac{4}{3}π{（\frac{5}{4}）^3}=\frac{125π}{48}$．（12分）

點評 本小題主要考查立體幾何的相關(guān)知識，具體涉及到面面的平行關(guān)系、二面角的求法及空間向量在立體幾何中的應用．本小題對考生的空間想象能力與運算求解能力有較高要求．