Question

16．已知函數(shù)f（x）=2cosx（sinx-cosx）+1．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；
（2）△ABC中，銳角A滿(mǎn)足f（A）=1，b=$\sqrt{2}$，c=3，求a的值．

Answer 1

分析 （1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，得出揭露．
（2）由f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）=1，求得sin（2A-$\frac{π}{4}$）的值，可得A的值，再利用余弦定理求得a的值．

解答 解：（Ⅰ）∵$f（x）=2sinxcosx-2{cos^2}x+1=sin2x-cos2x=\sqrt{2}sin（2x-\frac{π}{4}）$，∴f（x）的最小正周期為π．
令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{4}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{8}$≤x≤kπ+$\frac{3π}{8}$，可得函數(shù)的增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{8}$，kπ+$\frac{3π}{8}$]，k∈Z．
（2）△ABC中，銳角A滿(mǎn)足f（A）=$\sqrt{2}$sin（2A-$\frac{π}{4}$）=1，∴sin（2A-$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
又∵A是銳角，∴$2A-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$，∴$A=\frac{π}{4}$．
∵b=$\sqrt{2}$，c=3，由余弦定理得${a^2}=2+9-2×\sqrt{2}×3cos\frac{π}{4}=5$，∴$a=\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和單調(diào)性，余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．