Question

【題目】已知雙曲線C1： ．
（1）求與雙曲線C1有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（4， ）的雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）直線l：y=x+m分別交雙曲線C1的兩條漸近線于A、B兩點(diǎn)．當(dāng) =3時，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵雙曲線C1： ，

∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，0），（ ，0）

設(shè)雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為 （a＞0，b＞0），

∵雙曲線C2與雙曲線C1有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（4， ）

∴ ，解得

∴雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（2）解：雙曲線C1的兩條漸近線為y=2x，y=﹣2x

由 ，可得x=m，y=2m，∴A（m，2m）

由 ，可得x=﹣ m，y= m，∴B（﹣ m， m）

∴

∵

∴m2=3

∴

【解析】（1）先確定雙曲線C1： 的焦點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線C2與雙曲線C1有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn)P（4， ），建立方程組，從而可求雙曲線C2的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線方程與雙曲線C1的兩條漸近線聯(lián)立，求出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)用坐標(biāo)，利用數(shù)量積，即可求得實(shí)數(shù)m的值．