Question

（文科）設數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2n²，{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項公式；
（2）設{c_n}=

bn

an

，求數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和,數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

，利用S_n=2n²，能求出a_n=4n-2．利用等比數(shù)列的通項公式，由已知條件求出首項和公比，由此能求出b_n=2×(

1

4

)n-1．
（2）由cn=

an

bn

=

4n-2

2×( 1 4 )n-1

=（2n-1）•4^n-1，利用錯位相減法能求出數(shù)列{c_n}的前n項和T_n．

解答： 解：（1）∵數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n=2n²，
∴當n=1時，a₁=S₁=2，
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1=2n²-2（n-1）²=4n-2，
當n=1時，上式成立，
∴a_n=4n-2．
∵{b_n}為等比數(shù)列，且a₁=b₁，b₂（a₂-a₁）=b₁，
∴

b1=2 b2(6-2)=b1

，解得b1=2，b2=

1

2

，
∴q=

b2

b1

=

1

4

，∴b_n=2×(

1

4

)n-1．
（2）由（1）可得，cn=

an

bn

=

4n-2

2×( 1 4 )n-1

=（2n-1）•4^n-1，
∴T_n=1+3•4+5•4²+…+（2n-1）•4^n-1，①
則4T_n=4+3•4²+5•4³+…+（2n-1）•4ⁿ，②
由①-②得，-3T_n=1+2•4+2•4²+…+2•4^n-1-（2n-1）•4ⁿ
=1+

2×4(1-4n-1)

1-4

-(2n-1)•4n
=-（2n-

5

3

）•4ⁿ-

5

3

，
∴T_n=（

2

3

n-

5

9

）•4ⁿ+

5

9

．

點評：本題主要考查數(shù)列的通項公式、前n項和公式的求法，考查等差數(shù)列、等比數(shù)列等基礎知識，考查抽象概括能力，推理論證能力，運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數(shù)與方程思想，解題時要注意錯位相減法的合理運用．