Question

雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左頂點為A，右焦點為F，離心率e=2，焦距為4．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）設M是雙曲線C上任意一點，且M在第一象限內(nèi)，直線MA與MF傾斜角分別為a_l，a₂，求2a₁+a₂的值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）由已知條件得

2c=4 c a =2

，由此能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1 ，A（-1，0），F(xiàn)（2，0），設M（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，則x02-

y02

3

=1，當MF⊥x軸時，2a₁+a₂=π；當x₀≠2時，k_MA=tana₁=

y0

x0+1

，kMF=tana2=

y0

x0-2

，tan2a₁=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

，由此推導出2a₁+a₂=π．

解答： 解：（Ⅰ）∵雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的左頂點為A，
右焦點為F，離心率e=2，焦距為4，
∴

2c=4 c a =2

，解得

a=1 c=2

，∴b²=4-1=3，
∴雙曲線C的方程為：x2-

y2

3

=1．
（Ⅱ）雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1 ，A（-1，0），F(xiàn)（2，0），
設M（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，則x02-

y02

3

=1，
當MF⊥x軸時，x₀=2，y₀=3，
則kMF=

3

3

=1，∴a1=

π

4

，a2=

π

2

，2a₁+a₂=π，
當x₀≠2時，k_MA=tana₁=

y0

x0+1

，kMF=tana2=

y0

x0-2

，
tan2a₁=

2y0 x0+1

1-( y0 x0+1 )2

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

，
又y0=3(x02-1)，
∴tan2a1=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-y02

=

2(x0+1)y0

(x0+1)2-3(x02-1)

=-

y0

x0-2

，
∴tan2a₁+tana₂=0，又a1∈(0，

π

2

)，a2∈(0，π)，
∴2a₁+a₂=π．

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查兩直線的傾斜角之和的求法，解題時要認真審題，注意函數(shù)與方程思想的合理運用．