Question

已知函數(shù)f（x）=cos²x，g（x）=1+

1

2

sin2x．
（1）若點(diǎn)A（α，y）（α∈[0，

π

4

]）為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的公共點(diǎn)，試求實(shí)數(shù)α的值；
（2）求函數(shù)h（x）=f（x）+g（x），x∈[0，

π

4

]的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),正弦函數(shù)的圖象,余弦函數(shù)的圖象

專(zhuān)題：三角函數(shù)的求值

分析：（1）由于點(diǎn)A（α，y）（0≤α≤π）為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的公共點(diǎn)，可得cos2α=1+

1

2

sin2α，利用倍角公式展開(kāi)即可得出；
（2）利用倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵點(diǎn)A（α，y）（0≤α≤π）為函數(shù)f（x）與g（x）的圖象的公共點(diǎn)，
∴cos2α=1+

1

2

sin2α，
⇒

1

2

+

1

2

cos2α=1+

1

2

sin2α
∴cos2α-sin2α=1
∴cos2α-1=sin2α，
∴-2sin²α=2sinαcosα，
∴sinα=0，或tanα=-1．
∵α∈[0，

π

4

]
∴α=0．
（2）∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）
∴h(x)=cos2x+1+

1

2

sin2x=

1

2

+

1

2

cos2x+1+

1

2

sin2x
=

1

2

cos2x+

1

2

sin2x+

3

2

=

2

2

(

2

2

cos2x+

2

2

sin2x)+

3

2

=

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

∵x∈[0，

π

4

]，
∴

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

．
∴

2

2

≤sin(2x+

π

4

)≤1，
∴2≤

2

2

sin(2x+

π

4

)+

3

2

≤

3+ 2

2

．
即函數(shù)h（x）的值域?yàn)?span id="tslpyc5" class="MathJye">[2，

3+ 2

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了倍角公式、兩角和差的正弦公式、正弦函數(shù)的單調(diào)性，考查了計(jì)算能力，屬于難題．