Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞0，b，c∈R），F(xiàn)（x）=

f(x)，x≥0 -f(-x)，x＜0

．
（1）若f（x）的最小值為f（-1）=0，且f（0）=1，求F（-1）+f（2）的值；
（2）若a=1，c=0，且|f（x）|≤1對x∈[0，1]恒成立，求b的取值范圍；
（3）若a=1，b=-2，c=0，且y=F（x）與y=-t的圖象在閉區(qū)間[-2，t]上恰有一個公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由f（0）=1求出c的值，結(jié)合f（x）的最小值為f（-1）=0，可知對稱軸為x=-1，由此聯(lián)立方程組求得a，b的值，則F（x）可求，進(jìn)一步求得F（-1）+f（2）的值；
（2）把a(bǔ)=1，c=0代入f（x），|f（x）|≤1轉(zhuǎn)化為-1≤x²+bx≤1對x∈[0，1]恒成立，然后分x=0和x∈（0，1]求解b的取值范圍；
（3）由題意知t＞-2，然后對t分類借助于二次函數(shù)根的范圍求解實(shí)數(shù)t的取值范圍．

解答： 解：（1）由f（0）=1，得c=1，再由f（-1）=0，得-

b

2a

=-1，a-b+1=0，
∴a=1，b=2，f（x）=x²+2x+1=（x+1）²，
∴F(x)=

(x+1)2，x≥0 -(x-1)2，x＜0

，
則F（2）+F（-1）=5；
（2）∵a=1，c=0，
∴f（x）=x²+bx，
∵|f（x）|≤1對x∈[0，1]恒成立，
∴-1≤x²+bx≤1對x∈[0，1]恒成立，
當(dāng)x=0時，f（0）=0，
∴b∈R；
當(dāng)x∈（0，1]時，-1≤x²+bx≤1對x∈（0，1]恒成立等價(jià)于

b≤ 1 x -x b≥-(x+ 1 x )

恒成立，
∴b∈[-2，0]，
綜上，b的取值范圍是[-2，0]；
（3）由題意知，t＞-2，F(x)=

x2-2x，x≥0 -x2-2x，x＜0

，
當(dāng)t=0時，不合題意；
當(dāng)t＜0時，由F（x）=-t在[-2，t]上恰有一解，
即x²+2x-t=0在[-2，t]上恰有一解，
令g（x）=x²+2x-t，得g（-2）•g（t）≤0，
∵g（-2）=-t＞0，∴g（t）=t²+t≤0，解得-1≤t＜0，
當(dāng)t＞1時，不合題意，
當(dāng)0＜t≤1時，由F（x）=-t在[-2，t]上恰有一解，
即x²-2x+t=0在[-2，t]上恰有一解，
令g（x）=x²-2x+t，得g（-2）•g（t）≤0，
∵g（-2）=8+t＞0，∴g（t）=-t²+t≤0，解得0＜t≤1．
綜上，t的取值范圍是[-1，0）∪（0，1]．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)恒成立問題，考查了函數(shù)解析式的求法，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．