Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，已知．
（1）求S₁，S₂及S_n；
（2）設(shè)，若對(duì)一切n∈N^*，均有，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）n=1時(shí)，S₁=2，n=2時(shí)，S₂=6，由，知，由此能求出S_n．
（2）由S_n=n（n+1），知a_n=S_n-S_n-1=2n，a₁=2，a_n=2n，n∈N⁺，所以．由，知數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，由  b₁+b₂+…+b_n=和隨n的增大而增大，知 b₁+b₂+…+b_n，由此能求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）依題意，n=1時(shí)，S₁=2，n=2時(shí)，S₂=6，
∵，①
n≥2時(shí)，，
∴S_n=n（n+1）（n∈N⁺），
（2）由（1）知S_n=n（n+1），
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2n，
∵a₁=2，∴a_n=2n，n∈N⁺，
∴．
∵，∴數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，
則  b₁+b₂+…+b_n=．
∵隨n的增大而增大，
∴ b₁+b₂+…+b_n，
依條件，得，
即，∴m＜0或m≥5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列前n項(xiàng)和的求法和數(shù)列與不等式的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件．