【題目】已知, .

求函數(shù)圖象恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)

恒成立的值;

(Ⅲ)在(Ⅱ)成立的條件下,證明: 存在唯一的極小值點(diǎn),.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】試題分析:

()因?yàn)橐箙?shù)對(duì)函數(shù)值不發(fā)生影響,所以必須保證,據(jù)此可得函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn).

()原問(wèn)題等價(jià)于恒成立.構(gòu)造函數(shù)分類討論有:

①若時(shí), 不能恒成立.

②若時(shí), 時(shí)為極小值點(diǎn), 滿足題意時(shí)只需.討論可得要使函數(shù)成立,只有在時(shí)成立.

()結(jié)合()的結(jié)論有,構(gòu)造函數(shù),結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得一定有2個(gè)零點(diǎn),分別為的一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn),則函數(shù)在區(qū)間上存在一個(gè)極值點(diǎn),所以最小極值點(diǎn)在內(nèi).據(jù)此整理計(jì)算可得.

試題解析:

Ⅰ)因?yàn)橐箙?shù)對(duì)函數(shù)值不發(fā)生影響,所以必須保證,

此時(shí),所以函數(shù)的圖象恒過(guò)點(diǎn).

Ⅱ)依題意得: 恒成立,∴恒成立.

構(gòu)造函數(shù),

恒過(guò), ,

①若時(shí), ,上遞增,

不能恒成立.

②若時(shí), ,.

時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞減;

時(shí), ,函數(shù)單調(diào)遞增,

時(shí)為極小值點(diǎn), ,

∴要使恒成立,只需.

設(shè),則函數(shù)恒過(guò),

, ,函數(shù)單調(diào)遞增;

, ,函數(shù)單調(diào)遞減,

取得極大值0

∴要使函數(shù)成立,只有在時(shí)成立.

,設(shè)

,令

單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,

處取得極小值

可得一定有2個(gè)零點(diǎn),分別為的一個(gè)極大值點(diǎn)和一個(gè)極小值點(diǎn)

設(shè)為函數(shù)的極小值點(diǎn),則, ,

因?yàn)?/span>,因?yàn)?/span>,

所以在區(qū)間上存在一個(gè)極值點(diǎn),所以最小極值點(diǎn)在內(nèi).

∵函數(shù)的極小值點(diǎn)的橫坐標(biāo),

∴函數(shù)的極小值,.

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