Question

以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各三名同學在期末考試的數學成績，乙組記錄中有一個數字模糊，無法確認．假設這個數字具有隨機性，并在圖中以a表示．

（1）若甲、乙兩個小組的數學平均成績相同，求a的值；

（2）求乙組平均成績超過甲組平均成績的概率；

（3）當a=2時，分別從甲、乙兩組中各隨機選取一名同學，設這兩名同學成績之差的絕對值為X，求隨機變量X的分布列和數學期望，

 

 

Answer 1

（1）1；（2）；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：(1) 根據平均數計算公式,直接由甲、乙兩個小組的數學平均成績相等列式求解的值；

（2）分值從共種情況，由（1）中求得的結果可得，當時，乙組平均成績超過甲組平均成績，然后由古典概率模型概率計算公式求概率；

(3)用枚舉法列出所有可能的成績結果，查出兩名同學的數學成績之差的絕對值為的情況數，然后由古典概率模型概率計算公式求概率，然后列分布列，根據公式,此題屬于基礎題型,關鍵是讀懂題，就能拿滿分.

試題解析：（1）依題意，得： 

解得 ． 3分

（2）【解析】
設“乙組平均成績超過甲組平均成績”為事件，

依題意 ，共有種可能．

由（1）可知，當時甲、乙兩個小組的數學平均成績相同，

所以當時，乙組平均成績超過甲組平均成績，共有種可能．

因此乙組平均成績超過甲組平均成績的概率． 7分

（3）【解析】
當時，分別從甲、乙兩組同學中各隨機選取一名同學，所有可能的成績結果有種， 它們是：

,,,,,,,，

則這兩名同學成績之差的絕對值的所有取值為

因此，，，，． 10分

	0	1	2	3	4

所以隨機變量的分布列為：

 

所以的數學期望

． 12分

考點：1.樣本平均數；2.古典概型；3.離散型隨機變量的分布列與方差.