Question

20．甲乙兩人參加某種選拔測試，在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是$\frac{4}{5}$，乙能答對其中的8道題．規(guī)定每次考試都從備選的10道題中隨機抽出4道題進行測試，只有選中的4個題目均答對才能入選；
（Ⅰ） 求甲恰有2個題目答對的概率；
（Ⅱ） 求乙答對的題目數(shù)X的分布列；
（Ⅲ） 試比較甲，乙兩人平均答對的題目數(shù)的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）甲答對題目數(shù)Y～B（4，$\frac{4}{5}$），由此能求出甲恰有2個題目答對的概率．
（Ⅱ）由題意知乙答對的題目數(shù)X的可能取值為2，3，4，分別求出相應的概率，能求出X的分布列．
（Ⅲ）由Xr分布列求出乙平均答對的題目數(shù)EX，由甲答對題目數(shù)Y～B（4，$\frac{4}{5}$），求出甲平均答對的題目數(shù)EY，從而得到甲平均答對的題目數(shù)小于乙平均答對的題目數(shù)．

解答 解：（Ⅰ）∵甲乙兩人參加某種選拔測試，在備選的10道題中，甲答對其中每道題的概率都是$\frac{4}{5}$，
∴選中的4個題目甲恰有2個題目答對的概率P=${C}_{4}^{2}（\frac{4}{5}）^{2}（\frac{1}{5}）^{2}$=$\frac{96}{625}$．
（Ⅱ）由題意知乙答對的題目數(shù)X的可能取值為2，3，4，
P（X=2）=$\frac{{C}_{2}^{2}{C}_{8}^{2}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{28}{210}$=$\frac{2}{15}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{2}^{1}{C}_{8}^{3}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{112}{210}$=$\frac{8}{15}$，
P（X=4）=$\frac{{C}_{8}^{4}}{{C}_{10}^{4}}$=$\frac{70}{210}$=$\frac{1}{3}$，
∴X的分布列為：

X	2	3	4
P	$\frac{2}{15}$	$\frac{8}{15}$	$\frac{1}{3}$

（Ⅲ）∵乙平均答對的題目數(shù)EX=$2×\frac{2}{15}+3×\frac{8}{15}+4×\frac{1}{3}$=$\frac{18}{5}$，
甲答對題目數(shù)Y～B（4，$\frac{4}{5}$），
甲平均答對的題目數(shù)EY=4×$\frac{4}{5}$=$\frac{16}{5}$．
∴甲平均答對的題目數(shù)小于乙平均答對的題目數(shù)．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．