Question

（1）若f（x）關于x=a，x=b成軸對稱，則f（x）是否是周期函數？若是，T為多少？
（2）若f（x）滿足f（x+a）=f（x+b），則f（x）是否是周期函數？若是，T為多少？

Answer 1

考點：函數的周期性

專題：函數的性質及應用

分析：（1）由于f（x）關于x=a，x=b成軸對稱，可得f（x）=f（2a-x）且f（x）=f（2b-x），f（2a-x）=
f（2b-x），即可得出．
（2）由于f（x）滿足f（x+a）=f（x+b），可得f（x+b-a）=f（x-a+a）=f（x），即可判斷出．

解答： 解：（1）∵f（x）關于x=a，x=b成軸對稱，
∴f（x）=f（2a-x）且f（x）=f（2b-x），f（2a-x）=f（2b-x），
又∵（2a-x）-（2b-x）=2a-2b，
∴f（x）是周期為|2a-2b|的周期函數．
（2）∵f（x）滿足f（x+a）=f（x+b），
∴f（x+b-a）=f（x-a+a）=f（x），
∴函數f（x）是周期為|b-a|的函數．

點評：本題考查了函數對稱性與周期性，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．