Question

已知f₀（x）=xe^x，f₁（x）=f₀′（x），f₂（x）=f₁′（x），…f_n（x）=f_n-1′（x）（n∈N^*）
（1）請寫出f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式（不需要證明）；
（2）記f_n（x）（n∈N^*）的最小值為g（n），求函數(shù)y=g（n）（n∈N^*）的最小值；
（3）對于（1）中的f_n（x），設(shè)s（x）=f_n（x）+x²lnx-（x+n）e^x，r（x）=-x²+

2

e

x+

1

3

a-1（a∈R），其中e是自然對數(shù)的底數(shù)），若方程s（x）=r（x）有兩個不同實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個數(shù)判斷,導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算即可請寫出f_n（x）（n∈N^*）的表達(dá)式；
（2）求出f_n（x）表達(dá)式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)和最值之間的關(guān)系即可，求函數(shù)y=g（n）（n∈N^*）的最小值；
（3）求出函數(shù)程s（x）和r（x）的最值關(guān)系，即可．

解答： 解  （1）∵f₀（x）=xe^x，
∴f₁（x）=f₀′（x）=（x+1）e^x，
f₂（x）=f₁′（x）=（x+2）e^x，
f₃（x）=f₂′（x）=（x+3）e^x，
…
f_n（x）=f_n-1′（x）=（x+n）e^x．
（2）∵f_n′（x）=（x+n+1）e^x．
∴當(dāng)x＞-（n+1）時，f_n′（x）＞0；
當(dāng)x＜-（n+1）時，f_n′（x）＜0；，
∴f_n（x）_min=f_n（-n-1）=-e^-（n+1），
∴g（n）=-e^-（n+1），
易知函數(shù)g（n）單調(diào)遞增，
∴g（n）_min=g（1）=-

1

e2

，
即g（n）的最小值是-

1

e2

；          
（3）s（x）=f_n（x）+x²lnx-（x+n）e^x=x²lnx，
則方程s（x）=r（x）等價為 x²lnx=-x²+

2

e

x+

1

3

a-1；
又s′（x）=x（2lnx+1），其中x＞0，
易知s（x）在（0，

1

e

）遞減，在（

1

e

，+∞）遞增，
∴s（x）_min=s（

1

e

））=-

1

2e

，
且當(dāng)x→0時，s（x）→0；當(dāng)x→+∞時，s（x）→+∞，
而r（x）=-x²+

2

e

x+

1

3

a-1=-（x-

1

e

）²+

a

3

+

1

e

-1，
∴當(dāng)x=

1

e

時，r（x）_max=

a

3

+

1

e

-1，
故要使方程s（x）=r（x）有兩個根，
則

a 3 + 1 e -1＞- 1 2e r(0)= a 3 -1＜0

，
得3-

9

2e

＜a＜3．

點(diǎn)評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題，綜合考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，考查學(xué)生的運(yùn)算能力．