Question

已知中心在坐標(biāo)原點焦點在軸上的橢圓C,其長軸長等于4,離心率為．

(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(Ⅱ)若點(0,1), 問是否存在直線與橢圓交于兩點,且？若存在,求出的取值范圍,若不存在,請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)  (Ⅱ) 存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是

【解析】

試題分析：(Ⅰ)由題意可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為            1分

則由長軸長等于4,即2a=4,所以a=2．                 2分

又,所以,                       3分

又由于                          4分

所求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為                   5分

(Ⅱ)假設(shè)存在這樣的直線,設(shè),的中點為

因為所以所以  ①

(i)其中若時,則,顯然直線符合題意;

(ii)下面僅考慮情形:

由,得,

,得 ②            7分

則．               8分

代入①式得,即,解得               11分

代入②式得,得．

綜上(i)(ii)可知,存在這樣的直線,其斜率的取值范圍是          13分

考點：橢圓方程性質(zhì)及直線與橢圓的位置關(guān)系

點評：直線與橢圓相交時常將直線與橢圓聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理找到根與系數(shù)的關(guān)系，進(jìn)而將轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)表示，其中要注意條件不要忽略