Question

已知f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

，在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且滿足2bcosA≤2c-

3

a，則f（B）的取值范圍（　　）

• A、（-1，

  1

  2

  ]
• B、（-

  3

  2

  ，

  3

  2

  ]
• C、（-

  1

  2

  ，1]
• D、（-

  3

  2

  ，

  1

  2

  ]

Answer 1

考點：余弦定理,兩角和與差的正弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由已知及正弦定理可解得cosB≥

3

2

，可得0＜B≤

π

3

，即有-

π

6

＜2B-

π

6

≤

π

2

，由三角函數(shù)的恒等變化化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x-

π

6

），從而可求f（B）的值．

解答： 解：∵由于f（x）=

3

sinxcosx-cos²x+

1

2

=

3

2

sin2x-

1+cos2x

2

+

1

2

=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
又2bcosA≤2c-

3

a，
則由正弦定理得，2sinBcosA≤2sinC-

3

sinA=2sin（A+B）-

3

sinA=2sinAcosB+2cosAsinB-

3

sinA，
則可解得：cosB≥

3

2

，
由B為三角形的內(nèi)角，
則解得：0＜B≤

π

3

，可得：-

π

6

＜2B-

π

6

≤

π

2

，
故f（B）=sin（2B-

π

6

）∈（-

1

2

，1]．
故選：C．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡和求值，考查三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性，考查解三角形的正弦定理，考查運算能力，屬于中檔題．