Question

如圖所示的兩個(gè)同心圓盤均被等分（且），在相重疊的扇形格中依次同時(shí)填上，內(nèi)圓盤可繞圓心旋轉(zhuǎn)，每次可旋轉(zhuǎn)一個(gè)扇形格，當(dāng)內(nèi)圓盤旋轉(zhuǎn)到某一位置時(shí)，定義所有重疊扇形格中兩數(shù)之積的和為此位置的“旋轉(zhuǎn)和”.

（1）求個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和；

（2）當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，求個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的最小值；

（3）設(shè)，在如圖所示的初始位置將任意對(duì)重疊的扇形格中的兩數(shù)均改寫為0，證明：當(dāng)時(shí)，通過旋轉(zhuǎn)，總存在一個(gè)位置，任意重疊的扇形格中兩數(shù)不同時(shí)為0.

 

 

Answer 1

（1）；（2） 最小值；（3）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和，就是將所有位置的旋轉(zhuǎn)相加，故內(nèi)盤中的任一數(shù)都會(huì)和外盤中的每個(gè)數(shù)作積；（2）設(shè)內(nèi)盤中的和外盤中的同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”為；設(shè)內(nèi)盤中的和外盤中的同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”為；依次下去，設(shè)內(nèi)盤中的和外盤中的同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”為；這樣便得一個(gè)數(shù)列.這樣問題轉(zhuǎn)化為求該數(shù)列的最小值.求數(shù)列的最值，首先研究數(shù)列的單調(diào)性，而研究數(shù)列的單調(diào)性，就是研究相鄰兩項(xiàng)的差的符號(hào)，即研究的符號(hào)；（3）顯然直接證明有點(diǎn)困難，故采用反證法.由于該問題只涉及0與非0的問題，故可將圖中所有非數(shù)改寫為，這樣共有個(gè)0，個(gè)1.假設(shè)任意位置，總存在一個(gè)重疊的扇形格中兩數(shù)同時(shí)為，則此位置的“旋轉(zhuǎn)和”必大于或等于，初始位置外的個(gè)位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和為，則有，即，這與矛盾，故命題得證．

試題解析：（1）由于內(nèi)盤中的任一數(shù)都會(huì)和外盤中的每個(gè)作積，故個(gè)不同位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和為

； 3分

（2）設(shè)內(nèi)盤中的和外盤中的同扇形格時(shí)的“旋轉(zhuǎn)和”為

則

5分

所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，最小

最小值

； 8分

（3）證明：將圖中所有非數(shù)改寫為，現(xiàn)假設(shè)任意位置，總存在一個(gè)重疊的扇形格中兩數(shù)同時(shí)為，則此位置的“旋轉(zhuǎn)和”必大于或等于，初始位置外的個(gè)位置的“旋轉(zhuǎn)和”的和為

，則有，即，這與矛盾，故命題得證． 12分

考點(diǎn)：數(shù)列及數(shù)列的和.