Question

18．已知點(diǎn)A是拋物線x²=2y上位于第一象限的點(diǎn)，焦點(diǎn)F，且$|AF|=\frac{5}{2}$，過(guò)A，F(xiàn)的直線l交拋物線于點(diǎn)B．
（Ⅰ）求直線l的方程；
（Ⅱ）在拋物線AOB部分上求一點(diǎn)P，使P到直線l距離最大，并求出最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)題意，求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程，拋物線定義得：$|AF|=y+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，解可得y的值，進(jìn)而可得A的坐標(biāo)，結(jié)合F的坐標(biāo)計(jì)算可得直線l的方程；
（Ⅱ）分析可得當(dāng)P在切點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大，設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），將拋物線的方程變形為$y=\frac{x^2}{2}$求導(dǎo)得y'=x，由直線l的方程計(jì)算可得P的坐標(biāo)，進(jìn)而由點(diǎn)到直線的距離公式計(jì)算可得答案．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，拋物線x²=2y的焦點(diǎn)為$F（0，\frac{1}{2}）$，準(zhǔn)線方程為$y=-\frac{1}{2}$，
設(shè)A（x，y）（x＞0），
則由拋物線定義得：$|AF|=y+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$，
解可得y=2，
又由線x²=2y，則x=2，則A的坐標(biāo)為（2，2）；
所以直線l的方程為：$y=\frac{3}{4}x+\frac{1}{2}$，即3x-4y+2=0；
（Ⅱ）平移直線l與拋物線相切，當(dāng)P在切點(diǎn)處時(shí)，點(diǎn)P到直線l的距離最大
設(shè)切點(diǎn)P（x₀，y₀），由$y=\frac{x^2}{2}$求導(dǎo)得：y'=x，
所以切線斜率$k={x_0}=\frac{3}{4}$，∴${x_0}=\frac{3}{4}，{y_0}=\frac{9}{32}$，
顯然x_B＜x₀＜x_A，
∴$P（\frac{3}{4}，\frac{9}{32}）$
直線l：3x-4y+2=0，所以P到直線l的距離$d=\frac{{|3{x_0}-4{y_0}+2|}}{5}=\frac{5}{8}$
所以所求的點(diǎn)$P（\frac{3}{4}，\frac{9}{32}）$，距離最大值為$\frac{5}{8}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是依據(jù)題意，求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．