Question

5．設(shè)x＞0，f（x）=e^ax-x
（I）討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，證明：f（x）＞$\frac{{x}^{2}}{2}$+1；
（Ⅲ）若e^x=1+x+$\frac{1}{2}$x²e^y，證明：0＜y＜x．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，判斷函數(shù)的單調(diào)性即可；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)g（x），通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)g（0）=0，只需證明g（x）在[0+∞）上為增函數(shù)即可，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性證明即可；
（Ⅲ）結(jié)合（Ⅱ）的結(jié)論分別證明y＞0和y＜x即可．

解答 解：（Ⅰ）∵x＞0，f（x）=e^ax-x，
∴f′（x）=ae^ax-1，
①a≤0時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）遞減；
②0＜a＜1時(shí)，ln$\frac{1}{a}$＞0，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，
令f′（x）＜0，解得：0＜x＜$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$）遞減，在（$\frac{1}{a}$ln$\frac{1}{a}$，+∞）遞增；
③a≥1時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增．
（Ⅱ）a=1時(shí)，f（x）=e^x-x，
令g（x）=e^x-x-$\frac{1}{2}$x²-1，（x＞0），
g′（x）=e^x-1-x，g″（x）=e^x-1＞0，
故g′（x）在（0，+∞）遞增，
故g′（x）＞g′（0）=0，
∴g（x）在（0，+∞）遞增，
∴g（x）＞g（0）=0，
故f（x）＞$\frac{{x}^{2}}{2}$+1．
（Ⅲ）若e^x=1+x+$\frac{1}{2}$x²e^y，
由（Ⅱ）得：1+x+$\frac{1}{2}$x²e^y-x＞$\frac{1}{2}$x²+1，
∴$\frac{1}{2}$x²（e^y-1）＞0，
∴e^y＞1=e⁰，
∴y＞0，
由e^x=1+x+$\frac{1}{2}$x²e^y，
得：e^y=$\frac{2{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
∴y=ln$\frac{2{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$，
∴y-x=ln$\frac{2{（e}^{x}-x-1）}{{x}^{2}}$-x=ln[2（e²-x-1）-lnx²-x＜ln[2（$\frac{1}{2}$x²+1-1）-lnx²-x=lnx²-lnx²-x=-x＜0，
∴y-x＜0，即y＜x，
綜上，0＜y＜x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)恒成立問題以及不等式的證明，是一道綜合題．