Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=

3

2

a_n-3
（1）數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）若S_n＞ca_n（c為常數(shù)）對任意n∈N^* 都成立，求c的取值范圍．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用遞推關(guān)系式求出數(shù)列是等比數(shù)列，進一步求出數(shù)列的通項公式．
（2）利用（1）的結(jié)論，進一步求出數(shù)列的前n項和，進一步利用恒成立問題求出參數(shù)的取值范圍．

解答： 解：（1）根據(jù)已知條件：Sn=

3

2

an-3①
則：Sn-1=

3

2

an-1-3②
①-②得：an=

3

2

an-

3

2

an-1
整理得：

an

an-1

=3（常數(shù)）
當n=1時，求得：a₁=6
所以：an=6•3n-1
（2）若S_n＞ca_n（c為常數(shù)）對任意n∈N^* 都成立，
由于an=6•3n-1＞0
只需求出c＜(

Sn

an

)min即可．
由于Sn=

6(1-3n-1)

1-3

所以：c＜

3n-1-1

2

•3n-1
設(shè)x=3^n-1
則：

3n-1-1

2

•3n-1=

x2-x

2

所以：函數(shù)y=

x2-x

2

是對稱軸為x=

1

4

，開口方向向上的拋物線．
由于n≥1，
所以：x≥1對函數(shù)y=

x2-x

2

來說是單調(diào)遞增函數(shù)．
所以：y_min=0
即：c＜0

點評：本題考查的知識要點：利用遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項公式，恒成立問題的應用．屬于中等題型．