Question

（2013•鄭州一模）已知an=

∫

n 0

(2x+1)dx，數列{

1

an

}的前n項和為S_n，數列{b_n}的通項公式為b_n=n-8，則b_nS_n的最小值為

-4

．

Answer 1

分析：由題意，先由微積分基本定理求出a_n再根據通項的結構求出數列{

1

an

}的前n項和為S_n，然后代入求b_nS_n的最小值即可得到答案

解答：解：a_n=

∫

n 0

（2x+1）dx=（x²+x）

|

n 0

=n²+n
∴

1

an

=

1

n2+n

=

1

n

-

1

n+1

∴數列{

1

an

}的前n項和為S_n=

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

又b_n=n-8，n∈N^*，
則b_nS_n=

n

n+1

×（n-8）=n+1+

9

n+1

-10≥2

9

-10=-4，等號當且僅當n+1=

9

n+1

，即n=2時成立，
故b_nS_n的最小值為-4．
故答案為：-4．

點評：本題考查微積分基本定理及數列的求和，數列的最值等問題，綜合性強，知識轉換快，解題時要嚴謹認真，莫因變形出現失誤導致解題失�。�