Question

（2012•吉安二模）已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點M（-2，-1），離心率為

2

2

．過點M作傾斜角互補的兩條直線分別與橢圓C交于異于M的另外兩點P、Q．
（I）求橢圓C的方程；
（II）∠PMQ能否為直角？證明你的結(jié)論；
（III）證明：直線PQ的斜率為定值，并求這個定值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)經(jīng)過點M（-2，-1），離心率為

2

2

，建立方程可求a，b的值，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線的傾斜角為α，β，則α+β=180°，α=β+∠PMQ，若∠PMQ=90°，則β=45°，α=135°，求出直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，驗證即可得到結(jié)論；
（III）記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），直線MP的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，求出x₁，x₂的值，利用斜率公式即可求得結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：由題設(shè)，得

4

a2

+

1

b2

=1，①且

a2-b2

a

=

2

2

，②
由①、②解得a=6，b=3，
∴橢圓C的方程為

x2

6

+

y2

3

=1．…（4分）
（Ⅱ）解：設(shè)直線的傾斜角為α，β，則α+β=180°，α=β+∠PMQ
若∠PMQ=90°，則β=45°，α=135°
∴直線的斜率分別為1，-1
∴方程分別為y=x+1，y=-x-3
代入橢圓方程可得：3x²+4x-4=0，x²+4x+4=0
故可知y=-x-3與橢圓有且只有一個交點
所以∠PMQ不能直角；
（III）證明：記P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂）．
設(shè)直線MP的方程為y+1=k（x+2），與橢圓C的方程聯(lián)立，得（1+2k²）x²+（8k²-4k）x+8k²-8k-4=0，
則-2，x₁是該方程的兩根，∴-2x₁=

8k2-8k-4

1+2k2

，∴x₁=

-4k2+4k+2

1+2k2

．
設(shè)直線MQ的方程為y+1=-k（x+2），同理得x₂=

-4k2-4k+2

1+2k2

．…（8分）
因y₁+1=k（x₁+2），y₂+1=-k（x₂+2），
故k_PQ=

y1-y2

x1-x2

=

k(x1+2)+k(x2+2)

x1-x2

=

k(x1+x2+4)

x1-x2

=

k( -4k2+4k+2 1+2k2 + -4k2-4k+2 1+2k2 +4)

-4k2+4k+2 1+2k2 - -4k2-4k+2 1+2k2

=1，
因此直線PQ的斜率為定值．…（12分）

點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查直線斜率的計算，確定橢圓方程，聯(lián)立方程是關(guān)鍵．