Question

數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=3a_n-2．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的公式．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=3a_n-2，
∴a_n+1-1=3（a_n-1），
∴，a₁-1=2-1=1，
∴{a_n-1}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，
∴，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為．
（Ⅱ）∵，
∴S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n
=3⁰+1+3¹+1+3²+1+…+3^n-1+1
=
=．
即數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的公式為．
分析：（Ⅰ）由數(shù)列{a_n}滿足a₁=2，a_n+1=3a_n-2，知a_n+1-1=3（a_n-1），故，a₁-1=2-1=1，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由，知S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_n=3⁰+1+3¹+1+3²+1+…+3^n-1+1，由此能求出數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的公式．
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法和數(shù)列前n項(xiàng)和公式的求法，注意構(gòu)造法和分組求和法的合理運(yùn)用．