Question

15．已知△ABC的三邊長a、b、c成等比數(shù)列，邊長a、b、c所對的角依次為A、B、C，則sinB的取值范圍是$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

Answer 1

分析 由△ABC的三邊長a、b、c成等比數(shù)列，可得b²=ac．可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，利用基本不等式的性質可得B的取值范圍，即可得出．

解答 解：∵△ABC的三邊長a、b、c成等比數(shù)列，
∴b²=ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，當且僅當a=c時取等號．
∴B∈$（0，\frac{π}{3}]$．
∴sinB∈$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．
故答案為：$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

點評 本題考查了等比數(shù)列的性質、余弦定理、基本不等式的性質、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．