Question

15．已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c成等比數(shù)列，邊長(zhǎng)a、b、c所對(duì)的角依次為A、B、C，則sinB的取值范圍是$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

Answer 1

分析 由△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c成等比數(shù)列，可得b²=ac．可得cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$，利用基本不等式的性質(zhì)可得B的取值范圍，即可得出．

解答 解：∵△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c成等比數(shù)列，
∴b²=ac．
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}$≥$\frac{2ac-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時(shí)取等號(hào)．
∴B∈$（0，\frac{π}{3}]$．
∴sinB∈$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．
故答案為：$（{0，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、余弦定理、基本不等式的性質(zhì)、三角函數(shù)求值，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．