Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若在處有極值，問是否存在實數(shù)m，使得不等式對任意及恒成立？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由.；

（2）若，設(shè).

①求證：當(dāng)時，；

②設(shè)，求證：

Answer 1

【答案】（1）存在，；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）根據(jù)微積分基本定理求得，由，求得參數(shù)；利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的在區(qū)間上的最值，結(jié)合一次不等式在區(qū)間上恒成立問題，即可求得參數(shù)的范圍；

（2）①求得，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性，即可容易證明；

②由①中所求，可得，利用對數(shù)運算，即可證明.

由題可知，.

（1）由，可得，.

又當(dāng)時，，

故在區(qū)間單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.

故函數(shù)在處取得極值，所以.

∵，.

∴，

當(dāng)時，由上述討論可知，單調(diào)遞增，

故

不等式對任意及恒成立，

即：，

即：對恒成立，令，

，

即，且，

整理得，且，

解得：，即為所求.

（2）①∵，

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，

即證.

②由①可得：

令：，得，即：

=

即證.