Question

2．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{3}{x^3}+{x^2}-3x+4$．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f（x）的極大值與極小值；
（3）寫出利用導(dǎo)數(shù)方法求函數(shù)極值點的步驟．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出極值點，然后通過導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)區(qū)間．
（2）借助（1）直接求解函數(shù)的極值即可．
（3）寫出求解函數(shù)的極值的步驟即可．

解答 （本小題滿分21）
解：（1）f'（x）=x²+2x-3…（4分）    
令f'（x）=0，得x₁=-3，x₂=1…（6分）
當x∈（-∞，-3）時，f'（x）＞0，故f（x）在（-∞，-3）上為增函數(shù)；
當x∈（-3，1）時，f'（x）＜0，故f（x）在（-3，1）上為減函數(shù)；
當x∈（1，+∞）時f'（x）＞0，故f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)．…（10分）
所以單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，-3）、（1，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（-3，1）．…（13分）
（2）由（1）可知f（x）在x=-3處取得極大值f（-3）=13，
f（x）在x=1處取得極小值f（1）=$\frac{1}{3}+1-3+4$=$\frac{7}{3}$．…（15分）
（3）第一步：求出函數(shù)f（x）的定義域；  
 第二步：求出導(dǎo)數(shù)f'（x）；
第三步：解方程f'（x）=0；  …（18分）
第四步：對于方程f'（x）=0的每一個解x₀，分析f'（x）在x₀左、右兩側(cè)的符號（即f（x）
的單調(diào)性），確定極值點：
①若f'（x）在兩側(cè)的符號“左正右負”，則x₀為極大值點；
②若f'（x）在兩側(cè)的符號“左負右正”，則x₀為極小值點；
③若f'（x）在兩側(cè)的符號相同，則x₀不是極值點．…（21分）

點評 本題考查函數(shù)的極值以及導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力．