Question

8．已知f（x）=asinx，g（x）=lnx，其中a∈R，y=g^-1（x）是y=g（x）的反函數(shù)．
（1）若0＜a≤1，證明：函數(shù)G（x）=f（1-x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)；
（2）證明：$\sum_{i=1}^{n}$sin$\frac{1}{（1+k）^{2}}$＜ln2；
（3）設(shè)F（x）=g^-1（x）-mx²-2（x+1）+b，若對(duì)任意的x＞0，m＜0有F（x）＞0恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)b的值．

Answer 1

分析 （1）由題意：G（x）=asin（1-x）+lnx，G′（x）=$\frac{1}{x}$-acos（1-x），證明當(dāng)0＜x＜1，0＜a≤1時(shí)，G′（x）＞0恒成立即可證明結(jié)論．
（2）當(dāng)a=1時(shí)，G（x）=sin（1-x）+lnx在（0，1）單調(diào)增，推出sin$\frac{1}{（1+k）^{2}}$=sin[1-$\frac{{k}^{2}+2k}{（1+k）^{2}}$]＜ln$\frac{（k+1）^{2}}{{k}^{2}+2k}$，然后證明即可．
（3）化簡(jiǎn)F（x）=e^x-mx²-2x+b-2＞0即：F（x）_min＞0，求出導(dǎo)數(shù)F′（x）=e^x-2mx-2，二次導(dǎo)數(shù)F″（x）=e^x-2m判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，列出不等式，b＞（$\frac{{x}_{0}}{2}$-1）${e}^{{x}_{0}}$+x₀+2，x₀∈（0，ln2）恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求解最值，然后推出最小整數(shù)b的值．

解答 （1）證明：由題意：G（x）=asin（1-x）+lnx，G′（x）=$\frac{1}{x}$-acos（1-x）
當(dāng)0＜x＜1，0＜a≤1時(shí)，$\frac{1}{x}$＞1，cosx＜1，∴G′（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)G（x）=f（1-x）+g（x）在區(qū)間（0，1）上是增函數(shù)；
（2）證明：由（1）知，當(dāng)a=1時(shí)，G（x）=sin（1-x）+lnx在（0，1）單調(diào)增
∴sin（1-x）+lnx＜G（1）=0，∴sin（1-x）＜ln$\frac{1}{x}$（0＜x＜1）
∴sin$\frac{1}{（1+k）^{2}}$=sin[1-$\frac{{k}^{2}+2k}{（1+k）^{2}}$]＜ln$\frac{（k+1）^{2}}{{k}^{2}+2k}$，
∴$\sum_{i=1}^{n}$sin$\frac{1}{（1+k）^{2}}$＜ln$\frac{{2}^{2}}{1×3}•\frac{{3}^{2}}{2×4}•…•\frac{{k}^{2}}{（k-1）（k+1）}$=$\frac{k+1}{k+2}$ln2＜ln2；
（3）解：由F（x）=g^-1（x）-mx²-2（x+1）+b=e^x-mx²-2x+b-2＞0
即：F（x）_min＞0又F′（x）=e^x-2mx-2，F(xiàn)′′（x）=e^x-2m，
∵m＜0
則F″（x）＞0，∴F′（x），單調(diào)增，又F′（0）＜0，F(xiàn)′（1）＞0
則必然存在x₀∈（0，1），使得F′（x₀）=0，
∴F（x）在（-∞，x₀）單減，（x₀，+∞）單增，
∴F（x）≥F（x₀）=${e}^{{x}_{0}}$-mx₀²-2x₀+b-2＞0
∵${e}^{{x}_{0}}$-2mx₀-2=0，∴m=$\frac{{e}^{{x}_{0}}-2}{2{x}_{0}}$，
∴b＞（$\frac{{x}_{0}}{2}$-1）${e}^{{x}_{0}}$+x₀+2，
又m＜0，則x₀∈（0，ln2）
∴b＞（$\frac{{x}_{0}}{2}$-1）${e}^{{x}_{0}}$+x₀+2，x₀∈（0，ln2）恒成立
令m（x）=（$\frac{x}{2}$-1）e^x+x+2，x∈（0，ln2）
則m′（x）=$\frac{1}{2}$（x-1）e^x+1，m″（x）=$\frac{1}{2}$xe^x＞0，
∴m′（x）在x∈（0，ln2）單調(diào)遞增         
又m′（0）=$\frac{1}{2}＞0$，
∴m′（x）＞0∴m（x）在x∈（0，ln2）單調(diào)遞增，
∴m（x）＜m（ln2）=2ln2，∴b＞2ln2又b為整數(shù)．
∴最小整數(shù)b的值為：2．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的最值的求法，二次導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查構(gòu)造法以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，難度比較大．