Question

5．如圖，四棱錐P-ABCD中，∠BAD=∠ABC=90°，BC=2AD，△PAB和△PAD都是等邊三角形，則異面直線CD與PB所成角的大小為90°．

Answer 1

分析 過D作DE⊥BC于E，連結(jié)AE，BD交于點O，連結(jié)PO．則四邊形ABED為正方形，E為BC中點，利用△POA≌△POB得出PO⊥AB，PO⊥AE，于是可證PO⊥ABCD，得出PO⊥AE，又AE⊥BD得出AE⊥平面PBD，從而CD⊥平面PBD，得到CD⊥PB．

解答 解：過D作DE⊥BC于E，連結(jié)AE，BD交于點O，連結(jié)PO．
∵∠BAD=∠ABC=90°，△PAB和△PAD都是等邊三角形，
∴四邊形ABED是正方形，∴O是AE，BD的中點．OA=OB．
∵PB=PD，∴PO⊥BD，
∵PA=PB，OA=OB，PO為公共邊，
∴△POA≌△POB，
∴∠POA=∠POB，∴PO⊥AE，
∵四邊形ABED是正方形，∴AE⊥BD．
又PO?平面PBD，BD?平面PBD，PO∩BD=O，
∴AE⊥平面PBD．
∵BC=2AD，∴E是BC的中點．
∴CD∥OE，
∴CD⊥平面PBD．∵PB?平面PBD，
∴CD⊥PB．
∴異面直線CD與PB所成角為90°．
故答案為90°．

點評 本題考查了異面直線所成的角，證明CD⊥平面PBD是關(guān)鍵．