Question

18．退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長和人口老齡化背景下的一種趨勢．某機(jī)構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在20～80歲（含20歲和80歲）之間的600人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡層次繪制頻率分布直方圖，如圖所示．若規(guī)定年齡分布在為“老年人”．

（1）若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來代替，試估算所調(diào)查的600人的平均年齡；
（2）將上述人口分布的頻率視為該城市在20-80年齡段的人口分布的概率．從該城市20-80年齡段市民中隨機(jī)抽取3人，記抽到“老年人”的人數(shù)為X，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布直方圖，能估算所調(diào)查的600人的平均年齡．
（2）由頻率分布直方圖可知，“老年人”所占頻率$\frac{1}{5}$，由題意知，X～B（3，$\frac{1}{5}$），由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX．

解答 解：（1）由頻率分布直方圖，估算所調(diào)查的600人的平均年齡為：
25×0.1+35×0.2+45×0.3+55×0.2+65×0.1+75×0.1=48（歲）．
（2）由頻率分布直方圖可知，“老年人”所占頻率$\frac{1}{5}$，
∴該城市20-80年齡段市民中隨機(jī)抽取3人，抽到“老年人”的概率為$\frac{1}{5}$．
又題意知，X～B（3，$\frac{1}{5}$），
∴P（X=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{1}{5}）^{0}（\frac{4}{5}）^{3}$=$\frac{64}{125}$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{5}）（\frac{4}{5}）^{2}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{5}）^{2}（\frac{4}{5}）$=$\frac{12}{125}$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{5}）^{3}$=$\frac{1}{125}$，
∴隨機(jī)變量X的分布列如下表：

X	0	1	2	3
P	$\frac{64}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{12}{125}$	$\frac{1}{125}$

∴隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX=$0×\frac{64}{125}+1×\frac{48}{125}+2×\frac{12}{125}+3×\frac{1}{125}$=$\frac{3}{5}$．…（12分）

點(diǎn)評 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意二項(xiàng)分布的合理運(yùn)用．