解:( I)因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228751.png' />,
,故
,所以,
.(4分)
( II)
=
.(8分)
( III)因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228751.png' />,
,所以 0<α+β<π.(9分)
又因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/228753.png' />,所以
.(11分)
sinβ=sin[(α+β)-α]=sin(α+β)cosα-cos(α+β)sinα=
.(13分)
分析:( I)利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系根據(jù)sinα的值求出cosα的值,從而求得tanα的值.
( II)利用兩角和的余弦公式求出
的值.
( III)根據(jù)α、β的范圍,根據(jù)
求出sin(α+β)的值,再由sinβ=sin[(α+β)-α],利用兩角差的正弦公式求出sinβ的值.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系,兩角和差的正弦、余弦公式的應(yīng)用,屬于中檔題.