Question

已知拋物線x²=8（y+8）與y軸交點為M，動點P，Q在拋物線上滑動，且

MP

•

MQ

=0
（1）求PQ中點R的軌跡方程W；
（2）點A，B，C，D在W上，A，D關(guān)于y軸對稱，過點D作切線l，且BC與l平行，點D到AB，AC的距離為d₁，d₂，且d₁+d₂=

2

|AD|，證明：△ABC為直角三角形．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題,平面向量數(shù)量積的運算

專題：計算題,平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設直線MP：y=kx-8，聯(lián)立拋物線方程，求出P的坐標，同理求出Q的坐標，由中點坐標公式求出R，再消去k，即可得到R的軌跡方程；
（2）求出y=

x2

4

的導數(shù)y′=

x

2

，設出D，C，B的坐標，求出BC的斜率，運用平行的條件：斜率相等，從而推出AC，AB的斜率互為相反數(shù)，則∠DAC=∠DAB，d₁=d₂又d1+d2=

2

|AD|，則∠DAC=∠DAB=45°，故得證．

解答： （1）解：顯然直線MP的斜率存在且不為0，設為k，
設PQ的中點R（x，y）
∴直線MP：y=kx-8
與x²=8（y+8）聯(lián)立解得：P（8k，8k²-8）
同理：Q(-

8

k

，

8

k2

-8)
∴PQ的中點R(4k-

4

k

，4k2+

4

k2

-8)
∴

x=4k- 4 k y=4k2+ 4 k2 -8

，
∴軌跡方程：x²=4y；
（2）證明：由y=

x2

4

得：y′=

x

2

，
設D(x0，

x02

4

)，C(x1，

x12

4

)，B(x2，

x22

4

)
則A(-x0，

x02

4

)∴kBC=

1

4

(x1+x2)=

1

2

x0，
∴x₁+x₂=2x₀∴B(2x0-x1，

1

4

(2x0-x1)2)
∴kAC=

1

4

(x1-x0)
又kAB=

1

4

(x0-x1)則k_AC=-k_AB
則∠DAC=∠DAB∴d₁=d₂
又d1+d2=

2

|AD|
則∠DAC=∠DAB=45°
∴△ABC為直角三角形．

點評：本題考查軌跡方程的求法：參數(shù)法，考查運用導數(shù)求切線的斜率，兩直線平行的條件，運用平面幾何的知識從而判斷三角形的形狀，屬于中檔題．