Question

（本小題滿分12分）
設(shè)雙曲線的方程為，、為其左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，是雙曲線 上的任意一點(diǎn)，作，，垂足分別為、，與交于點(diǎn).
（1）求點(diǎn)的軌跡方程；
（2）設(shè)、的離心率分別為、，當(dāng)時(shí)，求的取值范圍.

Answer 1

（1）點(diǎn)的軌跡方程是（點(diǎn)除外）（2）

試題分析：（1）如圖，設(shè)，，，，，，
   

由①×②得：  ③
，，代入③得，即.
經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)，不合題意，因此點(diǎn)的軌跡方程是（點(diǎn)除外）
（2）由（1）得的方程為.
，
，，

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是求軌跡方程先設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后借助于題目中的垂直關(guān)系得到坐標(biāo)關(guān)系，從而得到軌跡方程。同時(shí)能利用離心率的表達(dá)式求解其范圍，屬于中檔題。