如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=
π
4
，PA⊥底面ABCD，PA=2，M為PA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．AF⊥CD于F，如圖建立空間直角坐標(biāo)系．
（Ⅰ）求出平面PCD的一個(gè)法向量并證明MN∥平面PCD；
（Ⅱ）求二面角P-CD-A的余弦值．
（Ⅰ）證：∵底面ABCD是邊長為1的菱形，∠ABC=
π
4
，
PA⊥底面ABCD，PA=2，M為PA的中點(diǎn)，N為BC的中點(diǎn)．AF⊥CD于F，
∴由題設(shè)知：在Rt△AFD中，AF=FD=
2
2
，
∴A（0，0，0），B（1，0，0），F(xiàn)（0，
2
2
，0），
D（-
2
2
，
2
2
，0），P（0，0，2），M（0，0，1），N（1-
2
4
，
2
4
，0），…（4分）
∴
MN
=(1-
2
4
，
2
4
，-1)，…（5分）
PF
=(0，
2
2
，-2)，
PD
=(-
2
2
，
2
2
，-2)…（6分）
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為
n
=（x，y，z）
則
n
•
PF
=0
n
•
PD
=0
，∴
2
2
y-2z=0
-
2
2
x+
2
2
y-2z=0
，
令z=
2
，得
n
=（0，4，
2
），
∴平面PCD的一個(gè)法向量
n
=（0，4，
2
）…（8分）
∵
MN
•
n
=0+
2
-
2
=0，
∴MN∥平面PCD．…（10分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得平面PCD的法向量
n
（0，4，
2
），
平面ADC的一個(gè)法向量為
AM
=(0，0，1)…（12分）
設(shè)二面角P-CD-A的平面角為α，
則cosα=
n
•
AM
|
n
|•|
AM
|
=
2
18
×1
=
1
3

∴二面角P-CD-A的余弦值為
1
3
．…（14分）
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．
（1）求證：AC⊥BC1；
（2）在AB上是否存在點(diǎn)D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，確定D點(diǎn)位置并說明理由，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC=
1
2
AB=1，N為AB上一點(diǎn)，AB=4AN，M、S分別為PB、BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：CM⊥SN；
（Ⅱ）求二面角P-CB-A的余弦值；
（Ⅲ）求直線SN與平面CMN所成角的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖在空間直角坐標(biāo)系中BC=2，原點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（
3
2
，
1
2
，0），點(diǎn)D在平面yOz上，且∠BDC=90°，∠DCB=30°．
（I）求向量
OD
的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)向量
AD
和
BC
的夾角為θ，求cosθ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，PA=AB=BC=AC，E是PC的中點(diǎn)．
（1）求證：PD⊥平面ABE；
（2）求二面角A-PD-C的平面角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在三棱柱A1B1C1-ABC中，A1A⊥平面ABC，A1A=AB=AC，AB⊥AC，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，且AD⊥C1D．
（1）求證：平面ADC1⊥平面BCC1B1；
（2）求證：A1B∥平面ADC1；
（3）求二面角C-AC1-D大小的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，PA⊥平面ABCD，ABCD為正方形，，且PA=AD=2，E、F、G分別是線段PA、PD、CD的中點(diǎn)．
（1）求證：面EFG⊥面PAB；
（2）求異面直線EG與BD所成的角的余弦值；
（3）求點(diǎn)A到面EFG的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

已知在長方體ABCD-A′B′C′D′中，點(diǎn)E為棱CC′上任意一點(diǎn)，AB=BC=2，CC′=1．
（Ⅰ）求證：平面ACC′A′⊥平面BDE；
（Ⅱ）若點(diǎn)P為棱C′D′的中點(diǎn)，點(diǎn)E為棱CC′的中點(diǎn)，求二面角P-BD-E的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

[2014·湖北省沙市中學(xué)期末]在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，其中a，b不共線，則四邊形ABCD為(　　)
A．平行四邊形B．矩形C．梯形 D．菱形

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同步練習(xí)冊答案